区间众数

通用求众数离线做法离散化之后开线段树维护数出现的频率的最大值带单点修改然后再用莫队移动区间时就跑一个单点修改复杂度是$O(n\sqrt{n}\log n)$

当只需要找频数超过一半的区间众数的时候可以这样考虑众数频数如果超过区间长度的一半那么任意划分区间为两段它必然要么在左半边超过一半要么在右边超过一半然后就可以用线段树维护了具体来说每个结点维护当前区间的众数及其频数当合并时找左儿子和右儿子的众数如果众数频数超过一半那么众数一定是二者之一离散化后对每个数开一个pos数组维护出现位置在这个数组中二分得到这两者左右儿子的众数在当前区间中出现的频数取最大者即可这样维护出来不一定是真区间众数但是如果众数超过区间长度一半那他一定维护这个众数这个复杂度是每次查询$O(\log^2n)$上面的论述中一半大概也可以改为其他比例这带来的问题是满足其他比例的众数可能有多个而这个比例超过一半时可以保证这样的众数唯一

还有一种做法是随机化在待查询区间里找30个数作为候选众数对每个数检查它是否满足频数超过区间长度一半用上段的方法可以做到$O(\log n)$查询如果一个数频数超过区间长度一半那么在区间内任取30个数带放回找不到该众数的概率不超过$2^{-30}$这个做法完全可以扩展到其他比例比例变小时只需提高30这个常数例如要求众数频数超过$1/5$时可以取100个候选众数即可做到$({4\over 5})^{100}\approx2\times10^{-10}$概率这是选不到真众数的概率因为超过1/5的众数可能有多个似乎有点迷惑选不到假众数的概率也是一样的他们互不影响但是没关系由于候选众数中几乎必有真众数即使找到了假众数还需要和真众数比频数所以这种算法几乎必然找到真众数

CF716Div2 D AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 300000
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
int n, m, maxn, a[N + 5];
struct node {
    int l, r, mx, aa;
};
node xds[4 * N+5];
vector<int> pos[N+5];

int cnt(int x, int l, int r) {
    int ret = upper_bound(pos[x].begin(), pos[x].end(), r) - lower_bound(pos[x].begin(), pos[x].end(), l);
    return ret;
}

void build(int id, int l, int r) {
    if(l == r) {
        xds[id].l = xds[id].r = l;
        xds[id].mx = 1;
        xds[id].aa = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(id * 2, l, mid);
    build(id * 2 + 1, mid + 1, r);
    xds[id].l = l; xds[id].r = r;
    if (cnt(xds[id * 2].aa, l, r) > cnt(xds[id * 2 + 1].aa, l, r)) {
        xds[id].mx = cnt(xds[id * 2].aa, l, r);
        xds[id].aa=  xds[id * 2].aa;
    } else {
        xds[id].mx = cnt(xds[id * 2 + 1].aa, l, r);
        xds[id].aa=  xds[id * 2 + 1].aa;
    }
}

pii get(int id, int l, int r) {
    // (frequency, value)
    pii ret, ret2;
    int f1 = 0, f2 = 0;
    if (l <= xds[id].l && xds[id].r <= r) {
        return pii(xds[id].mx, xds[id].aa);
    }
    int mid = (xds[id].l + xds[id].r) >> 1, rl = max(l, xds[id].l), rr = min(r, xds[id].r);
    if (l <= mid) {
        ret = get(id * 2, l, r);
        f1 = cnt(ret.second, rl, rr);
    }
    if (r > mid) {
        ret2 =  get(id * 2 + 1, l, r);
        f2 = cnt(ret2.second, rl, rr);
    }
    if (f1 > f2) {
        return pii(f1, ret.second);
    } else {
        return pii(f2, ret2.second);
    }
}

int main() {
    int l, r;
    cin.sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        pos[a[i]].push_back(i);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pos[i].push_back(n + 1);
    }
    build(1, 1, n);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> l >> r;
        pii most = get(1, l, r);
        cout << max(1, 2 * most.first - (r - l + 1)) << '\n';
    }
    return 0;
}