这篇文章讲一个 trick，他可以解决如下问题：
维护一个结构，可以添加和删除集合，可以询问：对询问中给定的新集合，结构中有多少集合与之不交？
用这个 trick，可以在 $O(2^{|S|})$ 的时间复杂度内添加或询问一个集合 $S$ ，所以在多个小集合的时候比较有用。
对两个集合 $A$ 和 $B$ ，考虑 $B$ 的所有子集，维护一个计数器 $cnt$ 。对每个子集 $S$ ，如果它也是 $A$ 的子集，为 $cnt$ 加上 $(-1)^{|S|}$ 。
$$cnt=\sum_{S\subset (A\cap B)}(-1)^{|S|}=\sum_{i=0}^{|S|}\binom{|S|}{i}(-1)^i\times 1^{|S|-i}=(1-1)^{|S|} $$
$A\cap B=\emptyset$ 时形式上是$0^0$不定式，根据定义式计算，发现它有由空集贡献的 1 。于是 $cnt$ 就标志着 $A\cap B$ 是否为空：为空时 $cnt=1$ ，否则 $cnt=0$ 。
现在我们维护一个 Trie 树，每个节点代表一个集合。当添加集合 $A$ 时，给它的所有子集对应的节点权值加一。删除时，就为所有子集对应的节点权值减一。可以注意到空集对应节点的权值就代表当前结构中维护的集合个数。
然后考虑询问：设在询问 $S$ ，对所有 $S'\subset S$，如果 Trie 树中有对应 $S'$ 的节点，就为计数器加上 $(-1)^{|S'|}\times tr ie[S']$。这样，对结构中维护的每个集合，若它和 $S$ 不交，它对计数器的贡献就是 1 ，否则是 0。于是计数器的值就代表了结构中与 $S$ 不交的集合个数。