算法

Dinic算法

本文讲解Dinic算法的思路，算法本身与证明。

关于残余网络和增广路等概念的说明，请看Ford-Fulkerson算法这篇文章。这里只致力于改进Ford-Fulkerson算法，得到一个与$F$无关的算法。

问题

当$F$较大时，影响Ford-Folkerson算法效率的主要因素在于：每次dfs可能可以找到许多条路径，但是该算法中每次dfs只进行一次增广，这就导致增广次数与$F$（可能）相关。一种想法是一次dfs多次增广，但这样做能否成功是取决于dfs顺序的，于是考虑，dfs顺序如何时，效率较高呢？

思路

Dinic算法的核心是每次寻找最短的增广路，并进行增广。这样做的理由（既是依据，也是好处）是，每次沿最短增广路增广后，最短增广路的长度一定不会减少，稍后会给出证明。假如有了这一结论，每次找到最短增广路的长度时，将该长度的增广路[全部增广]，然后重新寻找最短增广路，其长度至少增1，而增广路长度不会超过$|V|$（因为增广路是简单路径），从而增广次数上界$O(|V|)$。

证明

下面证明，每次沿最短增广路增广后，最短增广路的长度一定不会减少。在原图上，为寻找最短增广路，从$s$出发bfs，设第一次到达点$v$的边为$\langle u,v\rangle$，为点$v$编号$n_v=n_u+1$。由bfs的特性，每条边增量（指该边终点与起点编号差，可为负值，后均同）不超过1。特别地，$n_s=0,s$为源点。称这个图为分层图。

此时有结论：若$n_t$被更新，那么最短增广路的长度为$n_t$。为了证明，可以寻找为$n_t$标号的边的出发点$i$，再寻找为$i$标号的边的出发点$j$，…，最终会回到$s$，并且沿每条边标号增1。由于每条边增量不超过1，每条边都增1是从0到$n_t$最快的方法，从而我们找到了（一条）最短增广路$l_{min}$，并且每个最短增广路中的每条边$\langle u,v\rangle$都满足$n_v=n_u+1$。

下面使用数学归纳法。

（1）在分层图上沿最短增广路增广1次后，新图中可能出现一些新的反向边。若新图中有增广路$l'$，其中的边的来源有两种可能：

【1边】原分层图中的边（bfs时经历过的边）$\langle u,v\rangle$，满足$n_v\leq n_u+1$；

【2边】增广时出现的反向边$\langle v,u\rangle$，记原边为$\langle u,v\rangle$，那么由于原边在最短增广路中，一定满足$n_v=n_u+1$。

那么沿该路径中任何一条边编号增加不超过1，为了从$0$到达$n_t$仍然至少需要$n_t$条边，长度没有变短，所以最短增广路长度没有减少，并且所有边都仍满足$n_v\leq n_u+1$。

（2）假设沿最短增广路增广n次后，最短增广路长度不减少。当增广$(n+1)$次后，若图中无增广路，结论成立。若图中仍有增广路，其中的边可能是：

【1边】增广n次后的图中的边$\langle u,v\rangle$，满足$n_v\leq n_u+1$；

【2边】第$(n+1)$次增广时出现的反向边$\langle v,u\rangle$，记原边为$\langle u,v\rangle$，那么由于原边在最短增广路中，一定满足$n_v=n_u+1$。

类似于上面，可以证明沿最短增广路增广$(n+1)$次后，最短增广路长度仍不减少，并且所有边都仍满足$n_v\leq n_u+1$。

综上，沿最短增广路增广后，最短增广路长度不会减少。

优化

首先，在证明中我们知道：最短增广路中的每条边$\langle u,v\rangle$都满足$n_v=n_u+1$，从而我们只考虑递增的边不会出现错误。实际上，每次分层完后，只要找到增广路就可以增广，不必局限在最短增广路中增广，这是自缚手脚。只考虑递增的边的情况下，情况立刻不同了：图成为了DAG！从而，边$\langle u,v\rangle$能否使用只与$v$可达的点（记符合条件的点集为$V$，那么$\forall g \in V$，$n_g>n_v$）的情况有关，而与$s$如何到达$u$无关，从而，如果某一时刻发现一条边不能使用，那么在重新bfs（即重新标号）之前，无论其他地方如何增广，其后的边流量只会减少不会增加，这条边都仍然不能用来增广。于是可以记录这些边使之只遍历一次，每次分层至多访问它们$O(|E|)$次。

算法描述

下面的算法只是大致的描述，没有伪代码那么明确，重在讲清楚过程，希望我做到了。

（Dinic算法）输入：网络$G(V,E)$ 输出：最大流$max\_flow$

步骤0. [准备]建立数组$iter[V]$，定义$max\_flow\gets0$，用邻接表$G[V]$存储网络；

步骤1. [建立分层图]bfs(s,0)，当bfs(u,n)时，若$n_u$已定义，返回；否则记$n_u=n$，并对$G[u]$中的所有元素$v$进行bfs(v, n+1)。清零$iter[]$数组。

步骤2. [有增广路吗？]若$n_t$未定义，退出算法，返回$max\_flow$。

步骤3. [寻找增广路]在$G$上DFS，寻找从$s$到$t$的简单路径，要求该路径上每条边$e\langle u,v\rangle$可用权值$(w_e-f_e)$大于0，并且$n_v>n_u$。若找到，记该路径上的权值最小的边权值为$f$，否则$f\gets0$。DFS(u)时按顺序遍历$G[u]$，若$G[u][i]$不可用，$iter[u]\gets iter[u]+1$。

步骤4. [找到了，更新残余网络]如果$f>0$，置$max\_flow\gets max\_flow+f$。对路径上的每条边$e$，置$f_e\gets f_e+f$。记其反向边为$e'$，置$w_{e'}\gets w_{e'}+f$。返回步骤3。

步骤5. [没有找到]如果$f=0$，返回步骤1。

复杂度

由于每次dfs都至少使一条边满流（从而使之无法使用），dfs次数上界为$O(|E|)$。在当前弧优化后，每次dfs经过的边有两种可能性：（1）是无用边（2）在增广路里，其中（1）无用边在一次分层内总共访问$O(|E|)$次，而（2）成功增广的情况中，增广路长度不超过$|V|$，每次分层中情况（2）的总复杂度上界为$O(|E||V|)$，从而每次分层的复杂度上界为$O(|E||V|+|E|)=O(|E||V|)$，从而Dinic算法总的时间复杂度为$O(|E||V|^2)$。

模板

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>

#define V 5005 //V为顶点最大个数，视数据范围而定
#define INF 0x7fffffffffffffff

using namespace std;
typedef long long ll;
struct edge{
    ll to, w, rev;
};
vector<edge> G[V];
int num[V], iter[V];
int s, t;//源点和汇点，是全局变量

ll max_flow();
ll dfs(ll u, ll f);
void bfs();
void add_edge(ll from, ll to, ll w);

ll max_flow() {
    ll f = 0, flow = 0;
    while(true) {
        memset(iter, 0, sizeof(iter));
        bfs();
        if(num[t] == -1) return flow;
        while(f = dfs(s, INF)) {
            flow += f;
        }
    }
}
ll dfs(ll u, ll f) {
    if(u == t) return f;
    ll flow;
    for(int &i = iter[u]; i < G[u].size(); i++) {
        edge &e = G[u][i];//注意是引用，需要直接修改原图
        if(e.w > 0 && num[u] < num[e.to]) {
            if(flow = dfs(e.to, (f > e.w ? e.w : f))) {
                //min函数有些编译器不给过，所以用三目
                e.w -= flow;
                //直接修改容量而非同时记录f和w，只是为了方便
                G[e.to][e.rev].w += flow;
                return flow;
            }
        }
    }
    return 0;
}
void bfs() {
    memset(num, -1, sizeof(num));
    queue<int> que;
    que.push(s);
    num[s] = 0;
    while(!que.empty()) {
        int u = que.front(); que.pop();
        for(int i = 0; i < G[u].size(); i++){
            edge &e = G[u][i];
            if(e.w > 0 && num[e.to] < 0) {
                num[e.to] = num[u] + 1;
                que.push(e.to);
            }
        }
    }
}
void add_edge(ll from, ll to, ll w) {
    G[from].push_back(edge{to, w, G[to].size()});
    G[to].push_back(edge{from, 0, G[from].size() - 1});
}

如有发现模板的错误请联系我指正，我将不胜感激。